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2020-07-06 20:38【理学论文发表范文】Mathematica在经济数学中的应用

  1 概述

  经济数学教学遵循“以应用为目的,理论知识以必需够用为度”的原则,淡化概念,注重应用。因此,在教材中应融入经济数学教学实验的新概念,引导学生运用现代信息技术手段解决问题。面对高职学生,Mathematica数学软件在数学的理论知识与应用之间架起了一座桥梁,将数学中复杂的运算与计算机结合,使之变得更具体容易理解,增强了学生学习数学的兴趣,培养了学生的实践能力和创新能力,帮助学生在实践的基础上进行创新。

  Mathematica数学软件是一个功能强大的数学软件,它是美国伊利诺大学复杂系统研究中心主任、物理学、数学和计算机科学教授Stephen Wolfram负责研制的。学生在学习微积分初期必须掌握的求函数的极限、导数、积分的运算,借助Mathematica软件的强大的数值运算功能,从而解决生产管理和经济金融中的计算问题。

  2 Mathematica软件的基本命令

  双击Mathematica软件的图标即可启动Mathematica软件。在其命令窗口中输入命令,如Sin[Pi/2],然后按下Shift与Enter键即可执行相应的命令。在输入的命令中出现提示符“In[1]:=”,其中,“In”表示“输入”,数字1表示输入命令的序号;在运行结果之前会自动出现提示符“Out[1]=”,其中“Out”表示“输出”。

  3 数学软件Mathematica在经济数学中的应用

  3.1 用Mathematica计算极限

  3.1.1 相关Mathematica软件命令

  Mathematica系统中,求极限的语言是“Limit[函数,自变量→数值或∞]”

  即Limit[f(x),x→x0]

  3.1.2 案例分析

  例1 计算■■

  In[1]:=Limit[Sin[3x]/x,x→0]

  Out[1]=3

  例2 计算■■

  In[2]:=Limit[1/x,x→0,Direction→1]

  Out[2]=+∞

  例3 某储户将100万元的人民币以活期的形式存入银行,假设年利率5%,如果银行允许储户在一年内可任意次结算,在不计息税的情况下,若储户等间隔的结算n次,每次结算后将本息全部存入银行,问:一年后该储户的本息和是多少?随着结算次数的无限增加,一年后该储户是否会成为千万富翁?

  解:若每次计息一次,那么本利和为

  10000001+0.05

  若每年计息两次,那么本利和为

  10000001+■■

  若每年计息三次,那么本利和为

  10000001+■■

  若每年计息n次,那么本利和为

  10000001+■■

  随着结算次数的无限增加,即n→∞,故一年后本息和共计:■10000001+■■

  输入:Limit[10000001+■■,n→∞]

  输出1.00501×106

  即一年后该储户不会成为千万富翁。

  3.2 用Mathematica计算导数

  3.2.1 相关Mathematica软件命令

  Mathematica系统中,求导数的函数为:“D[函数f[x],自变量x]”用于求函数f[x]的一阶导数,即D[f,x];“D[函数f[x],自变量x,阶数n]”用于求函数f[x]的n阶导数,即D[f,{x,n}]。

  3.2.2 隐函数与由参数方程确定的函数的导数

  求隐函数的导数与由参数方程确定的函数的导数,需将求导命令与其他命令结合起来,才能奏效!与笔算的做法一样,先在方程两边对变量x求导,再从所得方程中解出y′(x)即可。这两个步骤分别可由以下两个语句完成:

  D[f(x)==0,x]

  Solve[%,D[y[x],x]]

  将它们合并,就成为Solve[D[f(x)==0,x],D[y[x],x]

  运行之后可求出y′(x)。

  3.2.3 案例分析

  例4 计算3xn的一阶导数

  In[3]:=D[3xn,x]

  Out[3]=3nxn-1

  例5 计算y=ln(1+x)的二阶导数

  In[4]:=D[Log(1+x),{x,2}]

  Out[4]=-■

  例6 求由方程xy-ex+ey=0确定的函数y=y(x)的导数。

  In[5]:=Solve[D[x*y[x]-e^x+e^y[x]==0,x],D[y[x],x]]

  Out[5]={{y′[x]→■}}

  例7 某工厂生产某种商品,年产量为q(单位:百台),成本C(单位:万元),其中固定成本为2万元,而每生产1百台成本增加1万元,市场上每年可以销售此种商品4百台,其销售收入R是q的函数R(q)=4q-■q2,q∈[0,4],问年产量为多少时其利润最大?

  分析:要求利润函数L(q)=收入函数R(q)-成本函数C(q),其中R(q)是已知的,C(q)是未知的,因此,确定C(q)是最基本的。而固定成本为2万元,生产q单位商品的变动成本为1?q万元。所以成本函数C(q)=q+2,q∈[0,∞],由此的利润函数L(q)=R(q)-C(q)=3q-■q2-2,q∈[0,4],则 L′(q)=3-q,q∈[0,4],令L′(q)=0得q=3,又因为L″(q)=-1<0,所以q=3是唯一的极大值点。   In[6]:=Clear[f,q]

  f[q_]=3q-■q2-2

  Solve[D[f[q],q]==0,q]

  D[f[q],{q,2}]

  Out[7]=-2+3q-q2/2

  Out[8]={{q→3}}

  Out[9]=-1

  3.3 用Mathematica计算积分

  3.3.1相关Mathematica软件命令

  在Mathematica系统中,求不定积分的函数为“Integrate[函数f[x],自变量x ]”,即Integrate[f,x]。求定积分的函数为“Integrate[函数f[x],{积分变量x,下限a,上限b}]”,即Integrate[f,{x,a,b}]。

  3.3.2 案例分析

  例8 用Mathematica求■xarctanxdx

  In[10]:=Integrate[xarctanx,x]

  out[11]=■-x+1+x■arctan[x]

  例9 用Mathematica求■lnxdx

  In[12]:=Integrate[Log[x],{x,1,y}]

  out[13]=1+y*(-1+Log[y])

  4 结束语

  总之,经济数学中关于函数求极限、求导、求经济函数最值问题、求不定积分和定积分等问题构成了经济数学的基本内容,也是学生学习和计算的重点和难点,引入Mathematica 软件进行经济数学教学,将理论学习与Mathematica软件使用相结合,有利于培养学生学习数学的兴趣,提高学生运用数学知识和数学软件分析、解决经济问题的能力。


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